f(x) = lnx এর ডোমেইন কোনটি?

Created: 2 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

$(- \infty, \infty)$
খ

$(- \infty, 0)$
গ

$[0, \infty)$
ঘ

$(0, \infty]$

ব্যাখ্যাঃ

লগারিদমিক ফাংশন $f(x) = \ln x$ এর ডোমেইন (domain) হল সেই সমস্ত $x$ এর মান, যার জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত (defined) হয়।

আমরা জানি, একটি লগারিদমিক ফাংশন $y = \log_b x$ সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য দুটি প্রধান শর্ত পূরণ করতে হয়:

বেস (base) $b$ অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে এবং $b \neq 1$ হতে হবে।
লগারিদমের ভেতরের রাশি (argument) $x$ অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে, অর্থাৎ $x > 0$।

দেওয়া আছে, $f(x) = \ln x$। এখানে, $\ln x$ মানে হল $\log_e x$, যেখানে $e$ হল একটি প্রাকৃতিক ধ্রুবক (Euler's number) যার মান প্রায় $2.718$।

যেহেতু বেস $e$ এর মান $e > 0$ এবং $e \neq 1$ শর্তটি পূরণ করে, তাই $\ln x$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য একমাত্র শর্ত হল লগারিদমের ভেতরের রাশি $x$ অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।

সুতরাং, $x > 0$।

অন্তর ব্যবধি (interval notation)-এ $x > 0$ কে $(0, \infty)$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এটি সকল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট, যেখানে 0 অন্তর্ভুক্ত নয়।

বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়:

$(-\infty, \infty)$: এই ব্যবধিতে ঋণাত্মক সংখ্যা এবং 0 অন্তর্ভুক্ত, যার জন্য $\ln x$ অসংজ্ঞায়িত।
$(-\infty, 0)$: এই ব্যবধিতে শুধুমাত্র ঋণাত্মক সংখ্যা রয়েছে, যার জন্য $\ln x$ অসংজ্ঞায়িত।
$[0, \infty)$: এই ব্যবধিতে 0 অন্তর্ভুক্ত, কিন্তু $\ln 0$ অসংজ্ঞায়িত।
$(0, \infty)$: এই ব্যবধিতে 0 ব্যতীত সকল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত, যা $\ln x$ এর সঠিক ডোমেইন।

অতএব, $f(x) = \ln x$ এর ডোমেইন হল $(0, \infty)$।